Thème 5
Systèmes de deux équations du premier
degré
à deux inconnues
Sommaire
du cours - 
Les
maths au collège -Annales du brevet-
Objectifs :
22. Ecrire une équation du premier degré à deux inconnues.
23. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues en utilisant la méthode par substitution.
24. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues en utilisant la méthode par addition.
25. Traduire un problème par un système de deux équations à deux inconnues.
1
) Ecrire un système de deux équations du premier degré à
deux inconnues :
a ) Introduction :
A
la soirée du collège,
A la première table on a servi
3 oranginas et 2 cocas pour 39 F
A la deuxième table on a servi 1 orangina
et 3 cocas pour 34 F
Combien coûte l'orangina ?
Combien coûte
le coca ?
Notons par exemple x le prix d'un orangina et y le prix d'un coca.
¥ Le prix payé à la première table est :
3x + 2y = 39 (1)
Cette égalité est une équation du premier degré à deux inconnues x et y.
Si x =7 et y = 9 alors 3 x 7 + 2 x 9 = 21 + 18 = 39
L'égalité est vérifieé.
Les deux valeurs x=7 et y=9 constituent un couple (7 ; 9), solution de l'équation 3x + 2y =39.
Le couple (5 ; 12) est aussi une solution car 3 x 5 + 2 x 12 = 39.
L'équation 3x + 2y =39 a une infinité de couples solutions.
Par contre, le couple (6 ; 8) n'est pas une solution car 3 x 6 +2 x 8 = 34 et 34 39.
L'égalité n'est pas vérifiée.
Le prix payé à la deuxième table est :
x + 3y = 34 (2)
Pour trouver le prix du coca et celui de l'orangina , il faut résoudre le système :
Début de la leçon - Sommaire cours2 ) Résoudre un système :
Résoudre le système c'est trouver tous les couples (x ; y) qui sont des solutions communes aux deux équations (1) et (2).
a ) Méthode par substitution :
¥ Isolons x dans une des 2 équations, par exemple dans l'équation (2) :
x = 34 - 3y (3)
¥ Remplaçons x par 34 - 3y dans l'équation (1) :
3x + 2y = 39
3(34 - 3y) + 2y = 39
102 - 9y + 2y = 39
102 - 7y = 39
102 - 39 = 7y
y = 63/7
y = 9
¥ Reportons y = 9 dans une équation, par exemple (3)
x = 34 - 3y
x = 34 - 3 x 9
x = 34 - 27
x = 7
¥ Vérification :
3 x 7 + 2 x 9 = 21 + 18 = 39
7 + 3 x 9 = 7 + 27 = 34
Le couple (7 ; 9) est l'unique couple solution du système.
¥ Conclusion :
L'orangina coûte 7 F et le coca 9 F.
Début de la leçon - Sommaire cours - Ex3
Act. Num.Bordeaux 2000a ) Méthode par addition :
Résoudre le système :
Il faut éliminer une des deux inconnues.
Pour cela, multiplions chaque membre des égalités (1) et (2) par des nombres "bien choisis" puis additionnons "membre à membre".
Par exemple :
¥ Multiplions les 2 membres de l'égalité (1) par 5 et ceux de l'équation (2) par -2 :
¥ Additionnons membre à membre les deux égalités :
(10x + 15y )+(-10x -8y) = 25 + (-32)
10x -10x + 15y -8y = 25 -32
7y = -7
y = -1
¥ Reportons la valeur de y dans l'un des deux équations, par exemple (1)
2x + 3y = 5
2x + 3 x (-1) = 5
2x -3 = 5
2x = 5 + 3
2x = 8
x = 4
¥ Vérification :
2 x 4 + 3 x (-1) = 8 - 3 = 5
5 x 4 + 4 x (-1) = 20 - 4 = 16
La solution du système est le couple (4 ; -1)
Début de la leçon - Sommaire cours - Ex3
Caen 2000 - Ex3
Est 2001-3 ) Résoudre un problème à l'aide d'un système :
Enoncé :
Un terrain rectangulaire a un périmètre de
750 m.
La longueur mesure 15 m de plus que la largeur.
Calculer les dimensions
du rectangle
Pour résoudre ce problème il faut suivre 4 étapes :
1.
Choix de l'inconnue
2. Mise en équation
3. Résoudre
4. Rédiger la conclusion
1. Choix de l'inconnue
Soit x la mesure de la largeur et y la mesure de la longueur.
2. Mise en équation
3. Résoudre
utilisons la méthode par substitution :
Je remplace y par x + 15 dans (1)
2x + 2(x + 15) = 750
2x + 2x + 30 = 750
4x = 720
x = 180
je remplace x par 180 dans (2)
y = x + 15
y = 180 + 15
y = 195
4. Rédiger la conclusion
La largeur mesure 180 m et l longueur 195 m.
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dernière mise à jour : 11/10/02